下面我們研究與三角形各心有關的向量式：

注：（1）本結論非常重要，俗稱為“奔馳定理”，因為PA、PB、PC像上述奔馳汽車的車標。不過這個稱呼不是很準確，數學上一般稱其為重心坐標[3]，對給定的△ABC，通過上述向量等式，奔馳定理證明過程五種證明，平面上每個點P與三元實數對（x，y，z）一一對應（若兩個三元實數對對應成比例則認為他們相同，所以這里只有兩個自由量）其中（x，y，z）稱為點P的重心坐標。因為重心在此坐標系最簡單，是（1，1，1），所以稱為重心坐標。如果規定逆時針排列的三角形面積為正，順時針排列的三角形面積為負，則x，y，z為實數時，本結論依然成立。

注：（1）本結論非常重要，俗稱為“奔馳定理”，因為PA、PB、PC像上述奔馳汽車的車標。不過這個稱呼不是很準確，數學上一般稱其為重心坐標[3]，對給定的△ABC，通過上述向量等式，平面上每個點P與三元實數對（x，y，z）一一對應（若兩個三元實數對對應成比例則認為他們相同，所以這里只有兩個自由量）其中（x，y，z）稱為點P的重心坐標。因為重心在此坐標系最簡單，是（1，1，1），所以稱為重心坐標。如果規定逆時針排列的三角形面積為正，順時針排列的三角形面積為負，則x，y，z為實數時，本結論依然成立。

奔馳定理的內容是有△ABC，點p為該三角形內的一點（在三角形邊上為定比分點公式）。那么則有SA·PA+SB·PB+SC·PC=0，其中：SA為△BCP的面積，SB為△ACP的面積，SC為△ABP的面積。這個也很好證明的，簡單的一個就。

對三角形的每個特殊點，都會有重心坐標；例如

“奔馳定理”顧名思義，從名字上就能看得出來講的是三角形與圓的關系，由于這個定理涉及的圖形的形式和奔馳汽車的車標很相像，所以大家才叫它——“奔馳”定理。“奔馳定理”不是單一的定理，這個定理還有一些其他的變式，大。

這樣對于證明點共線就可以用行列式來解決，這是機器證明的重要方法；

（2）本證明方法對于空間四面體依然成立，即對四面體ABCD及點P，若

奔馳定理的內容是有△ABC，點p為該三角形內的一點（在三角形邊上為定比分點公式）。那么則有SA·PA + SB·PB + SC·PC =0，其中：SA為△BCP的面積，SB為△ACP的面積，SC為△ABP的面積。這個也很好證明的，簡單的。